Задание №971
Условие
На доске записаны числа 1,2,3,...,27. За один ход разрешается стереть произвольно три числа, сумма которых меньше 31. Суммы троек стёртых чисел на каждом из ходов должны быть различными.
а) Приведите пример последовательных четырёх ходов.
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Найдите наибольшее число ходов, которое сделать?
Решение
а) Пример четырёх ходов.
1) (27,1,2) — сумма 27+1+2=30,
2) (20,4,5) — сумма 20+4+5=29,
3) (7,8,13) — сумма 7+8+13=28,
4) (6,9,12) — сумма 6+9+12=27.
Возможны и другие примеры.
б) Предположим, что можно сделать 9 ходов. Тогда надо стереть все числа. Сумма всех чисел равна 1+2+3+...+27=\frac{1+27}{2} \cdot 27=378.
С другой стороны, сумма чисел в каждой стёртой тройке меньше 31 и все девять сумм троек различны. Значит, их общая сумма не превышает 30+29+28+...+22= \frac{30+22}{2} \cdot 9=234. Но 234 < 378. Получили противоречие. Сделать 9 ходов невозможно.
в) Предположим, что сделано k ходов. За эти ходы вычеркнуто 3k различных чисел. Их общая сумма S не меньше, чем 1+2+3+...+3k=\frac{1+3k}{2} \cdot 3k, то есть S \geq \frac{1+3k}{2} \cdot 3k.
С другой стороны, S \leq 30+29+28+...+(31-k)= \frac{61-k}{2} \cdot k. Тогда \frac{1+3k}{2} \cdot 3k \leq S \leq \frac{61-k}{2} \cdot k; (1+3k) \cdot 3 \leq 61-k; 10k \leq 61-3, k \leq 5,8.
Но число ходов k является натуральным числом, поэтому k \leq 5.
Полученное ограничение еще не означает, что 5 ходов сделать можно, оно лишь означает, что нельзя сделать больше 5 ходов. Построим пример 5 ходов. Первые 4 хода такие же, как в пункте а). Пятый ход (10,11,3), с суммой 10+11+3=24. Таким образом, наибольшее возможное число ходов равно 5.
Ответ
а) (27,1,2), (20,4,5), (7,8,13), (6,9,12);
б) нет;
в) 5.