Задание №230

Тип задания: 17
Тема: Практические задачи

Условие

20% имеющихся средств клиентов банк собирается вложить в проект A на один год. Остальные 80% — в проект B. Исходя из того как сложатся обстоятельства, проект А может принести прибыль в размере от 27% до 32% годовых, а проект B — от 37% до 42% годовых. Банк должен вернуть деньги клиентам в конце года с выплатой процентов по фиксированной ставке. Уровень процентной ставки должен быть в пределах от 15% до 20% годовых. Найдите наибольшую и наименьшую чистую прибыль, которую может получить банк, от суммы вложений в проекты A и B в процентах годовых.

Показать решение

Решение

Пусть N — сумма вложений. В проект A может быть вложено 0,2N, а в проект B — 0,8N. Тогда от участия в проекте A банк получит средств от 1,27 \cdot (0,2N) = 0,254N до 1,32 \cdot (0,2N) = 0,264N, а от участия в проекте B — от 1,37 \cdot (0,8N) =1,096N до 1,42 \cdot (0,8N) =1,136N. Суммарно банк может получить от 1,35N до 1,4N. То есть доходы P банка 1,35N \leq P \leq 1,4N. Пусть процентная ставка по вкладам, начисляемая банком, равна a. Тогда в конце года банк должен выплатить клиентам V=N\left ( 1+\frac{a}{100} \right). Для выполнения условия задачи выплаты клиентам составят не менее 15% и не более 20% годовых от суммарных вложений в проекты A и B, то есть 1,15N \leq V \leq 1,2N.

Чистая прибыль банка равна разности доходов и выплат клиентам, то есть P — V, а чистая прибыль в процентах от вложений равна

\frac{P-V}{N} \cdot 100%. Мы получили, что 1,35 \leq \frac{P}{N} \leq 1,4; 1,15 \leq \frac{V}{N} \leq 1,2; -1,2 \leq -\frac{V}{N} \leq -1,15.

Сложим неравенства 1,35+(-1,2) \leq \frac{P}{N}+\left ( -\frac{V}{N} \right ) \leq 1,4+(-1,15).

0,15 \leq \frac{P-V}{N} \leq 0,25, \: 15% \leq \frac{P-V}{N} \cdot 100% \leq 25%.

Наименьшая прибыль банка может быть 15%, наибольшая — 25%.

Например, для суммы 1,35N при ставке 20% чистая прибыль банка составит (1,35N-1,2N) \cdot 100% : N = 15%, для суммы 1,4N при ставке 15% чистая прибыль банка составит (1,4N-1,15N) \cdot 100% : N = 25%.