Задание №213

а) 0,5 \sin^{2}6x- \sin^{2}\left ( \frac{3\pi}{2}-3x \right )=0,

2\sin^{2}3x \cdot \cos^{2}3x-\cos^{2}3x=0

\cos^{2}3x(2 \sin^{2}3x-1)=0.

1) \cos^{2}3x=0,

\cos3x=0,

3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,

x= \frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3} (k \in \mathbb{Z}).

2) 2\sin^{2}3x-1=0,

2 \sin^{2}3x=1,

\sin3x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}},

3x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi m}{2}(m \in \mathbb{Z}),

x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{6}(m \in \mathbb{Z}).

б) Решим неравенство 0<x<\frac{\pi}{2} для серии x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}:

0<\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}<\frac{\pi}{2},

0<\frac{1}{6}+\frac{k}{3}<\frac{1}{2},

-\frac{1}{2}<k<1,

k=0,\enspace x=\frac{\pi}{6}.

Решим неравенство 0<x<\frac{\pi}{2} для серии x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{6}, m \in \mathbb{Z};

0<\frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{6}<\frac{\pi}{2},

-\frac{1}{12}<\frac{m}{6}<\frac{5}{12},

-\frac{1}{2}<m<\frac{5}{2},

m=0, 1, 2.

При m=0 получим x=\frac{\pi}{12}, при m=1 получим x=\frac{\pi}{4}, при m=2 получим x=\frac{5\pi}{12}.

а) \frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\; \frac{\pi}{12}+\frac{\pi m}{6}, \;k, m \in \mathbb{Z};

б) \frac{\pi}{6}, \;\frac{\pi}{12}, \;\frac{\pi}{4}, \;\frac{5\pi}{12}.