Задание №167

а) Используя формулу для косинуса двойного угла \cos 2x = 2\cos^2 x -1 и тождество \sin x = -\cos x, преобразуем уравнение:

\cos 2x + 3\sqrt{3}\sin (\frac{3\pi }{2}+x)-5=0

2\cos^2x-1+3\sqrt{3}(-\cos x)-5=0

2\cos^2x+3\sqrt{3}(-\cos x)-6=0

Пусть \cos x =t, тогда получаем выражение: 2t^2-3\sqrt{3}t-6=0. Решаем его относительно t :

2t^2-3\sqrt{3}t-6=0

D=b^2-4ac=(3\sqrt{3})^2-4\cdot 2\cdot (-6) = 27+48=75

t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{3\sqrt{3}\pm 5\sqrt{3}}{4}; t_1=2\sqrt{3}, t_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}

\cos x=2\sqrt{3} – нет корней;

\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z}

б) Корни, принадлежащие отрезку \begin{bmatrix} 2\pi ; \frac{7\pi }{2} \end{bmatrix}, найдем с помощью окружности:

2\pi + \frac{5\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}, 2\pi + \frac{7\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}.

а) \pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in \mathbb{Z} б) \frac{17 \pi}{6}, \frac{19 \pi}{6}.