Задание №1233

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

Стрелок ведёт стрельбу по закрывающимся 4n-1\,\,(n \in \mathbb N, n > 1) мишеням, расположенным в одну линию друг за другом. Результаты стрельбы заносятся в одну строку, состоящую из 4n-1 клеток. Если мишень поражена, то в соответствующую клетку заносится 1, если нет, то 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «исключительным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «проходным».

а) Укажите число всех возможных различных результатов при n=3.

б) Укажите число всех возможных различных «исключительных» результатов при n=2.

в) Найдите формулу, по которой можно находить число всех возможных различных результатов, которые одновременно являются «проходными» и «исключительными».

г) Укажите наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1700.

Показать решение

Решение

а) При n=3 строка ответов состоит из 11 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Выясним, каким числом способов можно заполнить эту строку. Первую клетку из 11 можно заполнить 2 способами (записать в неё 1 или 0). Если первая клетка уже заполнена, то вторую клетку также можно заполнить 2 способами. Значит, первые две клетки можно заполнить 4 способами (2\cdot 2=2^2 ). Если первые две клетки уже заполнены, то третью клетку можно опять заполнить 2 способами. Значит, три клетки можно заполнить 8 способами (2^2\cdot 2=2^3 ). Рассуждая аналогично, получаем, что 11 клеток можно заполнить 2^{11} способами, 2^{11}=2048. При n=3 число возможных результатов равно 2048.

б) При n=2 строка ответов состоит из 7 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Так как в средней клетке строки уже записана 1, а в симметричные относительно неё клетки записываются одинаковые числа, то для заполнения всех 7 клеток надо заполнить лишь 3 первые клетки. Последние три будут им попарно симметричны относительно средней клетки, и заполняются они одинаково. Из пункта а) следует, что таких возможностей 2^3=8. Число возможных различных «исключительных» результатов при n=2 равно 8.

в) Покажем, что число всех различных одновременно «уникальных» и «проходных» результатов при произвольном значении n равно 4^{n-1}. Так как n > 1, то n=k+1 (k \in \mathbb Z), тогда 4n- 1=4k+3. По условию в средней клетке (её номер 2k+2) содержится 1. Обозначим через m количество единиц в первых 2k+1 клетках, расположенных левее средней клетки. Тогда в этих клетках будет 2k+1 -m нулей. Общее число единиц во всём «исключительном» результате будет равно 2m+1, а общее число нулей равно 2(2k +1-m)=4k -2m+2. По условию для «проходного» результата выполняется неравенство: 2m+1 > 4k-2m+2, 4m > 4k+1, m > k+\frac14 , m \geqslant k+1, так как m является натуральным числом. Заметим также, что m \leqslant 2k+1. При каждом указанном значении m число различных результатов равно C_{2k+1} ^m. Тогда искомое число результатов равно: C_{2k+1} ^{k+1}+C_{2k+1} ^{k+2}+...+C_{2k+1} ^{2k}+C_{2k+1} ^{2k+1}. Известно, что у последовательности биномиальных коэффициентов C_{2k+1} ^0 ,C_{2k+1} ^1 ,...,C_{2k+1} ^{k-1} ,C_{2k+1} ^k ,\! C_{2k+1} ^{k+1} ,C_{2k+1} ^{k+2} ,...,C_{2k+1} ^{2k} ,C_{2k+1} ^{2k+1} , коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны. Поэтому сумма C_{2k+1} ^{k+1} +C_{2k+1} ^{k+2} +...+C_{2k+1} ^{2k} +C_{2k+1} ^{2k+1} , равна половине суммы всех коэффициентов. Но сумма всех биномиальных коэффициентов, как известно, равна 2^{2k+1}. Значит, искомая сумма равна \frac{2^{2k+1}}2 =2^{2k}=4^{n-1}.

г) Решим неравенство 4^{n-1} \leqslant 1700. Заметим, что 4^5 =1024 < 1700, а 4^6=4096 > 1700. Поэтому n-1 \leqslant 5, n \leqslant 6. Наибольшее значение n равно 6.