Задание №1229
Условие
Для проведения тестирования было подготовлено 4n+3 \,(n \in \mathbb N) вопросов. Результаты тестирования заносятся на отдельную карточку в одну строку, состоящую из 4n+3 клеток. В случае верного ответа в соответствующую клетку записывается 1, в случае неверного — 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «особенным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «удовлетворительным».
Найдите:
а) количество всех возможных различных результатов при n=1;
б) количество всех возможных «особенных» результатов при n=2;
в) формулу, по которой можно находить число всех возможных различных, одновременно «особенных» и «удовлетворительных» результатов при произвольном значении n;
г) наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1500.
Решение
а) При n=1 строка ответов состоит из 7 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Выясним, каким числом способов можно заполнить эту строку. Первую клетку из семи можно заполнить 2 способами (записать в неё 1 или 0). Если первая клетка уже заполнена, то вторую клетку также можно заполнить 2 способами. Значит, первые две клетки можно заполнить 4 способами (2\cdot 2=2^2). Если первые две клетки уже заполнены, то третью клетку можно опять заполнить 2 способами. Значит, три клетки можно заполнить 8 способами (2^2\cdot 2=2^3 ). Рассуждая аналогично, получаем, что 7 клеток можно заполнить 2^7 способами, 2^7=128. Количество всех возможных различных результатов равно 128.
б) При n=2 строка ответов состоит из 11 клеток, в каждую из которых записывается 1 или 0. Так как в средней клетке в указанных карточках уже записана 1, а в симметричные относительно неё клетки записываются одинаковые числа, то для заполнения всех 11 клеток надо заполнить лишь 5 первых клеток. Пять последних будут им попарно симметричны относительно средней клетки, и заполняются они одинаково. Из пункта а) следует, что таких возможностей 2^5=32. Количество всех возможных «особенных» результатов при n=2 равно 32.
в) Покажем, что число всех различных одновременно «особенных» и «удовлетворительных» результатов при произвольном значении n равно 4n. Действительно, по условию в средней клетке (её номер 2n+2) содержится 1. Обозначим через m количество единиц в первых 2n+1 клетках, расположенных левее средней клетки. Тогда в этих клетках будет 2n+1-m нулей. Общее число единиц во всём «особенном» результате будет равно 2m+1, а общее число нулей равно 2(2n+1-m)=4n-2m+2. По условию для «удовлетворительного» результата выполняется неравенство: 2m+1 > 4n-2m+2, 4m > 4n+1, m > n+\frac14 , m\geqslant n+1, так как m является натуральным числом. Заметим также, что m \leqslant 2n+1.
Для решения задачи остаётся посчитать количество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, в которых единиц больше.
Рассмотрим произвольную последовательность длиной (2n+1), состоящую из нулей и единиц. Всего таких последовательностей 2^{2n}+1 (см. решение пункта а)). Так как число (2n+1) нечётно, то нулей и единиц не может быть поровну, то есть либо нулей больше, либо единиц.
Докажем, что количество последовательностей, в которых единиц больше, равно количеству последовательностей, в которых больше нулей. Для этого каждой последовательности длины (2n+1), в которой преобладают единицы, поставим в соответствие последовательность длины (2n+1) с преобладанием нулей, заменив в исходной последовательности все единицы нулями, а нули — единицами. Например, последовательности 11001 будет соответствовать 00110.
Отсюда количество последовательностей с преобладанием единиц равно \frac{2^{2n+1}}2=4^n.
г) Решим неравенство 4n \leqslant 1500. Заметим, что 4^5=1024 < 1500, а 4^6=4096 > 1500. Значит, n \leqslant 5. Наибольшее значение n равно 5.
Ответ
а) 128; б) 32; в) 4^n ; г) n=5.