Задание №1199
Условие
В треугольнике ABC проведены высоты AM и BN. На них из точек M и N опущены перпендикуляры MK и NF соответственно:
а) Докажите, что прямые KF и AB параллельны.
б) Найдите отношение KF:AB, если \angle ACB=60^{\circ}.
Решение
а) \triangle ANO \sim \triangle BMO по первому признаку подобия (\angle ANO=\angle BMO=90^{\circ}, \angle AON=\angle BOM как вертикальные). Учитывая, что в подобных треугольниках пропорциональны сходственные стороны и высоты, к ним проведённые, получим \frac{AO}{OB}=\frac{NF}{KM} (1).
\triangle NFO \sim \triangle MKO по первому признаку подобия
(\angle NFO=\angle MKO=90^{\circ}, \angle NOF=\angle MOK как вертикальные), отсюда \frac{OF}{OK}=\frac{NF}{MK}. (2).
Из 1) и 2) следует, что \frac{AO}{OB}=\frac{OF}{OK}.
Следовательно, \triangle AOB \sim \triangle FOK по второму признаку подобия (\angle AOB — общий, \frac{AO}{FO}=\frac{OB}{OK}).
Из подобия следует \angle OAB=\angle OFK. Углы OAB и OFK соответственные при прямых AB и KF и секущей AO, следовательно, AB \parallel KF по признаку параллельности прямых.
б) В четырёхугольнике NCMO, \angle MON= 360^{\circ}-(\angle N+\angle M+\angle C)= 120^{\circ}.
В \triangle MOK, \angle MKO=90^{\circ}, \angle MOK=60^{\circ} как смежный с \angle MON, тогда \angle OMK=30^{\circ}. Пусть OK=x, OM=2OK=2x.
В \triangle OMB, \angle OMB=90^{\circ}, \angle MOB=60^{\circ}, \angle MBO=30^{\circ}, OB=2OM=4x.
По доказанному в пункте а) \triangle FOK \sim \triangle AOB, значит, сходственные стороны пропорциональны: \frac{KF}{AB}=\frac{OK}{OB}=\frac{x}{4x}=\frac14.
Следовательно, KF:AB=1:4.
Ответ
KF:AB=1:4.