Задание №1189

а) Впишем в заданный трёхгранный угол единичный куб ABCOA_1B_1C_1O_1.

Тогда OA_1, OC_1 и OB являются биссектрисами плоских углов заданного трёхгранного угла.

В треугольнике A_1OC_1 все стороны A_1O, OC_1, A_1C_1 являются диагоналями квадратов со стороной, равной 1. Поэтому их длины равны \sqrt 2. Треугольник A_1OC_1 — равносторонний, поэтому любой его внутренний угол равен 60^{\circ}. В частности, угол A_1OC_1 между диагоналями A_1O и OC_1 равен 60^{\circ}. Аналогично доказывается, что любой другой угол между биссектрисами равен 60^{\circ}. Что и требовалось доказать.

б) 1. По условию шар вписан в трёхгранный угол у которого все плоские углы равны по 60^{\circ}. Тогда можно считать, что этот шар вписан в правильный тетраэдр QMNP, где Q — его вершина, а QM, QP и QN — боковые рёбра, QH — высота, r — радиус вписанного в тетраэдр шара.

2. Известно, что центр шара, вписанного в этот тетраэдр, лежит на высоте тетраэдра.

3. Пусть точка O является центром шара вписанного в тетраэдр (O принадлежит высоте QH ). Тогда OH является радиусом вписанного шара OH=r (H — центр \triangle MPN).

Опустим из точки O перпендикуляр OK на биссектрису QT угла MQP. \triangle MQP правильный, значит QT — высота и медиана. Аналогично, NT — высота, медиана и биссектриса правильного \triangle MNP.

Тогда MT \perp TQ и MT \perp TN, поэтому MT \perp QTN. Тогда MT \perp OK. Итак OK \perp MT и OK \perp TQ, поэтому OK \perp MPQ. Следовательно, OK — радиус вписанного шара, OK=r.

Так как H является точкой пересечения медиан треугольника основания MNP, то TH =\frac13TN.

Но TN=TQ, (как медианы равных треугольников), поэтому TH =\frac13TQ, \frac{TQ}{TH}=3.

4. Треугольники TQH и OKQ подобны по двум углам. Поэтому \frac{QT}{TH}=\frac{OQ}{OK}, 3=\frac{OQ}{r}, OQ=3r.

По условию V_{\text{шара}}=1 =\frac43\pi r^3.

Отсюда r^3 =\frac{3}{4\pi }, r=\sqrt [3]{\frac{3}{4\pi }}, OQ=3r=3\sqrt [3]{\frac{3}{4\pi }}=\sqrt [3]{\frac{81}{4\pi }}.

\sqrt [3]{\frac{81}{4\pi }}.