Задание №1181
Условие
В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB равна 8\sqrt 3, а боковое ребро AA_1=6. На ребре B_1C_1 отмечена точка L так, что B_1L=2\sqrt 3. Точки K и M — середины ребер AB и A_1C_1 соответственно. Плоскость \gamma параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости \gamma.
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью \gamma.
Решение
а) 1. Построим сечение призмы плоскостью \gamma.
Плоскость ABC проходит через прямую AC, параллельную плоскости \gamma, и пересекает её (K — общая точка этих плоскостей), следовательно, линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой AC. В плоскости ABC построим среднюю линию KN. Аналогично в плоскости A_1B_1C_1 проведём LF \parallel A_1C_1. FKNL — сечение призмы плоскостью \gamma.
2. Докажем, что BM \perp \gamma.
Проведём MT \parallel AA_1. Плоскость BTM перпендикулярна прямой AC. Действительно, AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (MT, BT) плоскости BTM. Следовательно, BM \perp AC, значит, BM \perp KN.
Докажем теперь, что MB \perp OO_1. Рассмотрим прямоугольник BTMB_1.
MT=6, B_1O_1=3, BT=12 (высоты правильных треугольников B_1FL и ABC соответственно). Введём систему координат и найдём скалярное произведение векторов \overline{MB} и \overline{OO_1}.
M(0; 6), B(12; 0), \overline{MB}\{12; -6\}, O(6; 0), O_1(9; 6) , \overline{OO_1}\{3; 6\}.
\overline{MB}\cdot \overline{OO_1}=12\cdot 3+(-6)\cdot 6=0. Это означает, что векторы \overline{MB} и \overline{OO_1} перпендикулярны, следовательно, MB \perp OO_1. Итак, MB перпендикулярна двум пересекающимся прямым KN и OO_1 плоскости \gamma , а значит, MB\perp \gamma.
б) \triangle MHO_1 \sim \triangle OO_1G как прямоугольные треугольники с равными острыми углами, \angle MO_1H=\angle GOO_1 как накрест лежащие при MB_1 \parallel BT и секущей OO_1. Из этого следует, что \frac{MO_1}{OO_1}=\frac{MH}{O_1G}, MO_1=9, O_1G=6, OO_1 найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OO_1G. OO_1= \sqrt {OG^2+O_1G^2}= \sqrt {9+36}= \sqrt {45}=3\sqrt5. 9\cdot 6=3\sqrt 5MH, откуда MH =\frac{18\sqrt 5}5. MH — высота пирамиды MKNLF.
Площадь равнобедренной трапеции KNLF с основаниями KN и LF и высотой OO_1 равна \frac{KN+LF}2\cdot OO_1. KN — средняя линия треугольника ABC, KN=\frac12AB=4\sqrt 3. LF — сторона правильного треугольника LB_1F (LF \parallel A_1C_1), поэтому LF= LB_1= 2\sqrt 3. S_{KNLF}= \frac{4\sqrt 3+2\sqrt 3}{2}\cdot 3\sqrt 5= 9\sqrt {15}.
V_{MKNLF} = \frac13S_{KNLF}\cdot MH= \frac13\cdot 9\sqrt {15}\cdot \frac{18\sqrt 5}5= 54\sqrt 3.
Ответ
54\sqrt 3.