Задание №1080
Условие
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^{\circ}. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.
Решение
Объём пирамиды вычисляется по формуле V = \frac13\cdot Sосн.· h, где Sосн. — площадь основания, а h — высота пирамиды, равная 9. На рисунке, приведённом в условии задачи, SH — высота пирамиды и HG\perp BC. Покажем, что угол SAH является линейным углом двугранного угла между плоскостью ABS и плоскостью основания ABC, которые пересекаются по прямой AB. AH\perp AB, так как основание призмы является прямоугольником. AH является проекцией наклонной AS. Тогда по теореме о трех перпендикулярах AS\perp AB. Отсюда \frac{SH}{AH}=tg60^{\circ}=\sqrt3. \frac{9}{AH}=\sqrt3, AH=\frac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3, AD=2AH=6\sqrt3. Аналогично убеждаемся, что угол SGH равен 60^{\circ} и HG=3\sqrt3=BC. Следовательно стороны прямоугольника, лежащего в основании, равны 3\sqrt3 и 6\sqrt3. Значит V=\frac13\cdot Sосн. · h = \frac13\cdot3\sqrt3\cdot6\sqrt3\cdot9= 162.