Задание №1024

Тип задания: 19
Тема: Числа и их свойства

Условие

Пусть S(x) — сумма чисел натурального числа x. Решите уравнения:

а) x+S(x)=2015;

б) x+S(x)+S(S(x))=2015;

в) x+S(x)+S(S(x))+S(S(S(x)))= 2015.

Показать решение

Решение

а) Если десятичная запись числа x содержит не более трёх цифр, то сумма этих цифр не превосходит 27. Следовательно, x+S(x) < 2015. Таким образом, x — четырёхзначное число, первая цифра которого равна 1 или 2, то есть 1 \leq S(x) \leq 28, значит, 1987 \leq x \leq 2014. Согласно признаку делимости на 3, числа x и S(x) имеют одинаковые остатки от деления на 3. Если число x кратно 3, то x=3k, k \in \mathbb N и S(x)=3m, m \in \mathbb N и сумма x+S(x) кратна 3. Но число 2015 не кратно 3. В данном случае уравнение не имеет решений.

Пусть x=3k+1 и S(x)=3m+1, тогда сумма x+S(x), как и число 2015, при делении на 3 имеет остаток 2. Среди чисел от 1987 до 2014 остаток 1 при делении на 3 дают числа 1987, 1990, 1993, 1996, 1999, 2002, 2005, 2008, 2011, 2014. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходят только 1993 и 2011. Пусть x=3k+2 и S(x)=3m+2, тогда сумма x+S(x) при делении на 3 имеет остаток 1, а число 2015 при делении на 3 имеет остаток 2. В этом случае уравнение не имеет решений.

б) Согласно признаку делимости на 3 числа x, S(x) и S(S(x)) имеют одинаковые остатки от деления на 3. Значит, сумма x+S(x)+S(S(x)) делится на 3. Число 2015 на 3 не делится, поэтому решений нет.

в) Число x < 2015. Среди чисел, меньших 2015, наибольшую сумму цифр 28 имеет число 1999. Так как S(x) \leq 28, S(S(x)) \leq S(19)=10, S(S(S(x))) \leq 9, то x= 2015-S(x)-S(S(x))-S(S(S(x))) \geq 2015-28-10-9=1968.

Согласно признаку делимости на 9 числа x, S(x) и S(S(x)) и S(S(S(x))) имеют одинаковые остатки от деления на 9. Число 2015 при делении на 9 дает остаток 8, поэтому число x должно давать остаток 2. Среди чисел от 1968 до 2015 остаток 2 при делении на 9 дают 1973, 1982, 1991, 2000, 2009. Проверив эти числа, убеждаемся, что подходит только 1991.