Задание №1023

а) Невозможно. Найдем сумму всех чисел в явном виде. Разобьем ряд на группы по 4 числа. В первую группу войдут 4 крайних числа, в следующую — числа с 5-го по 8-е и так далее. 2016 делится нацело на 4, поэтому весь ряд разделится на группы, число групп равно 2016 : 4=504. По условию, сумма чисел в каждой группе 12. Значит, сумма всего ряда 504 \cdot 12=6048, и другая сумма получится не может.

б) Возможно. Рассмотрим, например, ряд 2, 2, 6, 2, 2, 2, 6, 2, ... , 2, 2, 6, 2, 2, состоящий из 504 четверок вида 2, 2, 6, 2, 2017-е число которого равно 2. Тогда сумма всех чисел равна (2+6+2+2) \cdot 504+2=6050. Проверим что условие выполняется. Среди любых последовательных четырех чисел три двойки и одна шестёрка, поэтому их сумма будет равна 2 \cdot 3+6=12.

в) Будем исследовать возможные значения суммы в зависимости от остатка при делении n на 4. Если n делится на 4, иными словами n=4k, где k \in \mathbb{N}, то аналогично пункту а) получается \frac{n}{4}=k четвёрок последовательно идущих чисел, сумма чисел в каждой такой четвёрке равна 12. Значит, сумма всех чисел равна сумме всех четвёрок и равна k \cdot 12=3n. Других сумм получиться не может.

Если n не делится на 4, то возможны случаи n=4k+r, где k \in \mathbb{N}, r \in \{1;2;3\}.

Рассмотрим 5 последовательных чисел этого ряда: a_{i}, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4}. По условию a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}=a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}=12. Отсюда a_{i}=a_{i+4}, то есть числа в ряду повторяются через четыре.

Если в ряду k одинаковых четвёрок и еще r чисел (r от 1 до 3), то эти r чисел равны начальным числам четвёрки. Сумма четверок равна 12k.

Числа ряда натуральные, поэтому a_{i} \geq 1. При этом из четырёх последовательных чисел сумма любых трех не меньше 3, значит, четвертое число не больше 12-3=9.

Для случая n=4k+1 сумма S может изменяться от 12k+1 до 12k+9 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 1 \leq t \leq 9) можно получить, например, так:

\color{red}{t, 10-t,1,1,...,t,10-t,1,1},t. Выделенное красным: k – четверок (t,10-t,1,1).

Из четырёх последовательных чисел сумма любых двух не меньше 2, значит, третье и четвёртое числа в сумме не больше 12-2=10. Поэтому для случая n=4k+2 сумма S может изменяться от 12k+2 до 12k+10 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 2 \leq t \leq 10) можно получить, например, так:

\color{red}{t-1,1,1,11-t,...,t-1,1,1,11-t},t-1,1. Выделенное красным: k – четверок (t-1,1,1,11-t).

Из четырех последовательных чисел любое число не меньше 1, значит, три остальных числа в сумме не меньше 3 и не больше 12-1=11. Поэтому для случая n=4k+3 сумма S может изменяться от 12k+3 до 12k+11 включительно, всего можно получить также 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t\,(t \in \mathbb{N}, 3 \leq t \leq 11) можно получить, например, так:

\color{red}{t-2,1,1,12-t,...,t-2,1,1,12-t},t-2,1,1. Выделенное красным: k – четверок (t-2,1,1,12-t).

а) нет; б) да; в) 1, если n делится на 4; 9, если n не делится на 4.