Задание №1025
Условие
Существуют ли такие восемь различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
а) ровно в шесть раз;
б) ровно в пять раз;
в) ровно в четыре раза?
Решение
а) Да. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 19. Сумма этих чисел равна 48, среднее арифметическое равно 6, наибольший общий делитель равен 1.
б) Да. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11. Сумма этих чисел равна 40, среднее арифметическое равно 5, наибольший общий делитель равен 1.
в) Пусть наибольший общий делитель восьми чисел a_{1} < a_{2} <...< a_{8} равен d. Тогда a_{1} \geq d, a_{2} \geq 2d,..., a_{8} \geq 8d. Следовательно, a_{1}+a_{2}+...+a_{8} \geq 36d, а среднее арифметическое \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{8}}{8} \geq \frac{36}{8}d=4,5d. Значит, среднее арифметическое не может быть больше наибольшего общего делителя ровно в 4 раза.
Ответ
а) да; б) да; в) нет.