Степень числа с натуральным показателем

Правило чтения и записи степеней с натуральным показателем

Краткую запись произведения одинаковых сомножителей очень удобно использовать, — длинная строка описания математических действий сокращается до записи нескольких шагов:

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 — основание степени,

5 — показатель степени,

1419857 — значение степени.

Степень с нулевым показателем равна 1, при условии, что a \neq 0:

a^0=1.

Например: 2^0=1

Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10.

Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 \cdot 10^8.

Каждое число большее 10 можно записать в виде a \cdot 10^n, при условии, что 1 < a < 10 и n является положительным целым числом. Такую запись называют стандартным видом числа.

Примеры таких чисел: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Можно говорить как и «a в n-ой степени», так и «n-ая степень числа a» и «a в степени n».

4^5 — «четыре в степени 5 » или «4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4»

В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.

Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:

(7,38)^2, \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 и др.

Заметьте также разницу:

(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.

-5^6 — соответствует числу противоположному 5^6.

Свойства степеней с натуральным показателем

Основное свойство степени

a^n \cdot a^k = a^{n+k}

Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.

Например: 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

a^n : a^k=a^{n-k}, если n > k.

Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.

Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^{n-k} будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом (k < n), либо нулем (k-n).

Например: 2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1

Свойство возведения степени в степень

(a^n)^k=a^{nk}

Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.

Например: (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6}=2^{18}

Свойство возведения в степень произведения

В степень n возводится каждый множитель.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Например: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Свойство возведения в степень дроби

\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b} \right) ^n, b \neq 0

В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. \left(\frac{2}{5} \right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}