Задание №994
Условие
Решите неравенство \log_{3}(x-1) \leq 4-9\log_{9(x-1)}3.
Решение
ОДЗ уравнения: \begin{cases}x-1>0,\\9(x-1)\neq1,\end{cases} то есть x > 1, x \neq \frac{10}{9}.
Используя формулу \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}, получаем
\log_{9(x-1)}3=\frac{1}{\log_{3}(x-1)+2}.
Неравенство примет вид \log_{3}(x-1) \leq 4-\frac{9}{\log_{3}(x-1)+2}. Пусть \log_{3}(x-1)=t, тогда t-4+\frac{9}{t+2} \leq 0,
\frac{(t-1)^2}{t+2} \leq 0, t=1 или t < -2.
\log_{3}(x-1)=1, откуда x-1=3, x=4 или \log_{3}(x-1) < -2, откуда x-1 < \frac{1}{9}, x < \frac{10}{9}. Учитывая ОДЗ, получим 1 < x < \frac{10}{9}, x=4.
Ответ
\left(1;\frac{10}{9}\right),4.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.