Задание №218

Тип задания: 19
Тема: Сюжетные задачи из жизни

Условие

В одной из лотерей билеты решили пронумеровать парами натуральных чисел. Но перед началом розыгрышв вдруг неожиданно просочилась информация о стратегиях формирования выигрышных билетов.

(1) Наряду с каждым выигрышным билетом (a;b) билет (b;a) также является выигрышным.

(2) Билет (a;c) будет являться выигрышным если выигрышными окажутся билеты (a;b) и (b;c).

(3) Билет (a\cdot c; b\cdot c) будет выигрышным для любого натурального числа c, если выигрышным будет (a;b).

Один математик узнал о том, что билет (6;9) — выигрышный. Из всех предложенных ему билетов, он купил только приведенные ниже. Докажите, что эти билеты являются выигрышными.

а) (12; 18); (12;27); (24;81).

б) (3\cdot2^k; 3\cdot3^k) для любого натурального k.

в) (3\cdot 2^m\cdot3^n; 3\cdot2^p\cdot3^q), где m,n,p,q \in \mathbb{N},\; m+n = p+q.

Показать решение

Решение

а) Так как билет (6;9) является выигрышным, то, согласно стратегии (3), (6\cdot 2; 9\cdot 2) является выигрышным, значит, билет (12;18) является выигрышным.

Так как (6;9) = (3\cdot 2; 3\cdot 3), то, согласно стратегии (3), билет (3\cdot 2\cdot 2; \color{red}{3\cdot 3\cdot 2}) является выигрышным. Аналогично, так как (3\cdot 2; 3\cdot 3) является выигрышным, то (\color{red}{3\cdot 2\cdot 3}; 3\cdot 3\cdot 3) является выигрышным.

Заметим, что выделенные красным числа 3\cdot 3\cdot 2 и 3\cdot 2\cdot 3 равны, поэтому, согласно стратегии (2), билет (3\cdot 2\cdot 2; 3\cdot 3\cdot 3) является выигрышным, то есть (12;27) является выигрышным.

Из предыдущего, согласно стратегии (3), получаем, что (24; \color{red}{54}) является выигрышным. Так как (3\cdot 2; 3\cdot 3) является выигрышным, то (3\cdot 2\cdot 3\cdot 3; 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)является выигрышным, то есть (\color{red}{54}; 81) является выигрышным. Тогда, согласно стратегии (2), билет (24;81) является выигрышным.

б) Билет (3\cdot 2^1; 3\cdot 3^1) является выигрышным по условию. Выше установлено, что билеты (12;27) = (3\cdot 2^2; 3\cdot 3^2) и (24;81) = (3\cdot 2^3; 3\cdot 3^3) также являются выигрышными.

Рассмотрим теперь выигрышный билет (3\cdot 2^3; 3\cdot 3^3). Умножаем числа номера на 2, получим, что билет (3\cdot 2^4; \color{red}{3\cdot 3^3\cdot 2}) является выигрышным.

Так как (3\cdot 2; 3\cdot 3) является выигрышным, то (\color{red}{3\cdot 2\cdot 3^3}; 3\cdot 3\cdot 3^3) является выигрышным. Отсюда, по стратегии (2) получаем, что билет (3\cdot 2^4; 3\cdot 3^4) является выигрышным.

И вообще, если билет (3\cdot 2^s; 3\cdot 3^s), s \in \mathbb{N} является выигрышным, то, умножая числа номера на 2, получаем, что (3\cdot 2^{s+1}; \color{red}{3\cdot 3^s\cdot 2}) является выигрышным. Так как (3\cdot 2; 3\cdot 3) является выигрышным, то, умножая числа этого номера на 3^s, получим, что билет (\color{red}{3\cdot 2\cdot 3^s}; 3\cdot 3\cdot 3^s) является выигрышным.

Отсюда по стратегии (2) получаем, что билет (3\cdot 2^{s+1}; 3\cdot 3^{s+1}) является выигрышным. Тем самым доказано, что билеты с номером (3\cdot 2^k; 3\cdot 3^k) являются выигрышными для любого натурального k.

в) Выше установлено, что билет с номером (3\cdot 2^m; 3\cdot 3^m) является выигрышным. Тогда, умножая числа номера на 3^n, получим, что билет (3\cdot 2^m\cdot 3^n; 3\cdot 3^{m+n}) выигрышный.

Совершенно аналогично убеждаемся, что билет (3\cdot 2^p\cdot 3^q; 3\cdot 3^{p+q}) является выигрышным. Но m+n = p+q по условию, поэтому 3\cdot 3^{p+q} = 3\cdot 3^{m+n}. Пусть 3\cdot 3^{p+q} = A, тогда билеты (3\cdot 2^m\cdot 3^n; A) и (3\cdot 2^p\cdot 3^q; A) являются выигрышными. Применяя сначала стратегию (1), потом стратегию (2), получим, что билет (3\cdot 2^m\cdot 3^n; 3\cdot 2^p\cdot 3^q) является выигрышным.