Задание №176
Условие
Учащиеся средней школы решали тест и каждый из учеников за него мог получить какое-то положительное число баллов. Для того, чтобы сдать тест, нужно было набрать не менее 50 баллов. Для улучшения результатов тестирования, каждому участнику добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших его увеличилось. Подумайте и решите:
а) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест?
б) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест и при этом средний балл сдавших тоже понизился?
в) Пусть первоначально средний балл учеников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших – 40 баллов, а общий средний балл составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл сдавших учеников стал равен 63 баллам, а не сдавших – 43. Определите наименьшее число участников, при котором возможна такая ситуация?
Решение
а) Пусть тестировались трое участников, набравших 20, 48 и 60 баллов. Средний балл не сдавших равен (20+48): 2=34 балла. После прибавления баллы стали 25, 53 и 65. Средний балл несдавших стал равен 25, он понизился.
б) Рассмотрим пример пункта а). Средний бал сдавших стал равен (53+65): 2=59, что меньше среднего балла сдавших до прибавления, который был равен 60.
в) Пусть в тестировании принимало участие N участников, не сдали тест k участников, после добавления баллов не сдали тест p участников.
Пусть a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant ...\leqslant a_{N} - баллы участников, тогда a_{k}<50, a_{k+1}\geqslant 50, a_{p}+5<50, a_{p+1}+5\geqslant 50.
Средний балл до добавления:
несдавших \frac{a_1+a_2+...+a_k}{k}=40, сдавших \frac{a_{k+1}+...+a_N}{N-k}=60, всех участников \frac{a_1+a_2+...+a_N}{N}=50. Тогда:
40k+60(N-k)=50N
40k+60N-60k-50N=0
10N=20k
N=2k.
Так как k и N целые, то N делится на 2.
Аналогично после добавления получим:
43p+63(N-p)=55N
20p=8N
2N=5p
N делится на 5.
N делится на 2 и на 5. Значит, N делится на 10.
Пример для 10 участников.
4 плучили по 38 баллов, 1 — 48, 5 — по 60 баллов.
Средний балл, у тех, кто не сдал тест после повышения: (4\cdot 38+48):5=40 баллов.
Средий балл у несдавших после повышения — 43 балла.
Средний балл у сдавших — (48+5+5\cdot 65):6=63 балла.
Условия выполнены.
Ответ
а) да; б) да; в) 10.
Рита Шмалева /