Задание №1231
Условие
На доске написано более 20, но менее 30 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение
Пусть всего на доске было записано n чисел, 20 < n < 30. Пусть среди этих чисел было k положительных, обозначим их a_1, a_2,..., a_{k};\, m отрицательных, обозначим их b_1, b_2,..., b_m и p нулей. Тогда k+m+p=n и по условию задачи \frac{a_1+a_2+...+a_k+b_1+b_2+...+b_m+0+0+...+0}{n}= -3,
\frac{a_1+a_2+...+a_k }{k}=5, \frac{b_1+b_2+...+b_m }{m}=-10.
Из этих равенств следует, что a_1+a_2+...+a_k+b_1+b_2+...+b_m+0+0+...+0 = -3n,
a_1+a_2+...+a_k=5k,
b_1+b_2+...+b_m=-10m.
Откуда имеем 5k-10m=-3n.
а) Заметим, что в равенстве 5k-10m=-3n левая часть делится нацело на 5, значит, и правая тоже делится на 5. Из этого следует, что n делится нацело на 5. Так как 20 < n < 30, то n=25.
б) Подставим в равенство, 5k-10m=-3n выражение для n=k+m+p. Получим: 5k-10m=-3(k+m+p), 8k+3p=7m. Поскольку p\geqslant 0, это означает, что k<m. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в) Подставим в формулу 5k-10m=-3n значение n=25. Получим: 5k-10m=-75, откуда k=2m-15. Так как k+m=25-p \leqslant 25, имеем 2m-15+m=3m-15 \leqslant 25, 3m \leqslant 40, m \leqslant 13. Тогда k=2m-15 \leqslant 11, то есть положительных чисел не более 11.
Приведём пример, показывающий, что положительных чисел может быть ровно 11.
Пусть на доске 11 раз было написано число 5, 13 раз написано число -10 и один раз написан 0. Тогда \frac{11\cdot 5+13\cdot (-10) }{25}=-\frac{75}{25}=-3.
Таким образом, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ
а) 25; б) отрицательных; в) 11.