Задание №1230
Условие
а) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с натуральными членами a_n .Последовательность c_n сформирована по правилу c_n=a_n^2 +a_{n+2}^2. Сколько простых членов подряд может быть у последовательности c_n ?
б) Дана геометрическая прогрессия b_n с натуральными членами и простым знаменателем, S_k=b_1+b_2+... +b_k. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности S_k могут быть простыми числами?
в) Дана геометрическая прогрессия b_n с натуральными членами и простым знаменателем, c_n=b_1 n+b_{n+1}+b_{n+2}. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности c_n могут быть простыми числами?
Решение
а) Один из самых простых способов проверить, является ли натуральное число простым, — это проверить его чётность. Среди чётных чисел простым является только 2.
Пусть d — разность арифметической прогрессии. Тогда a_{n+2}=a_n+2d и d — целое ненулевое число (d=a_2 -a_1 ), значит, a_n и a_{n+2} — различные числа одинаковой чётности.
Отсюда c_n=a_n ^2 +a_{n+2} ^2 чётно и больше 2 (действительно, сумма квадратов двух различных нечётных натуральных чисел не меньше 1^2+3^{2}, аналогично рассматриваются квадраты чётных чисел). Значит, c_n не является простым ни при каком n.
б) S_k=b_1 (1+q+. . . +q^{k-1} ), где q — знаменатель прогрессии. Будем рассматривать только случай b_1=1 (иначе существует не более одного простого числа среди S_k , хотя ровно одно (b_1 ) может быть простым). Вспомним, что число 1 к простым по определению не относится.
Заметим, что если q — нечётно, то все b_k нечетны, а потому чётность чисел S_k будет чередоваться, при этом при k > 2 для всех S_k выполняется неравенство S_k \geqslant 1+3 > 2. Значит, среди S_k существует не более одного простого числа подряд.
Если же q — чётное и простое, то q=2. Тогда S_k=2^k -1. В частности, S_1=1, S_2=3, S_3=7, S_4=15 и т.д.
Но 2^{2n} имеет остаток 1 при делении на 3, значит, S_{2n} делится на 3. То есть при k > 2 любые члены S_k и S_{k+1} больше 3 и один из них делится на 3, то есть не более 1 простого числа подряд. При k=2 числа S_k и S_{k+1} равны соответственно числам 3 и 7, то есть являются простыми. Таким образом, два простых числа подряд. Так как число 1 не является простым, то трёх простых членов подряд среди S_k нет.
Итак, среди чисел S_k возможно не более двух простых чисел подряд. Пример: b_1=1, q=2; члены S_2 и S_3 — простые числа.
в) Здесь также будем рассматривать только случай b_1=1.
c_n=n+q^n+q^{n+1}.
Очевидно, что в последовательности чисел c_n чередуется чётность членов. Так как при этом все c_n > 2, то возможно не более одного простого числа c_n подряд.
Пример простого члена c_{n}:\, q=2, n=1, c_1=7.
Ответ
а) 0; б) 2; в) 1.