Задание №1026
Условие
Бесконечная арифметическая прогрессия a_{1}, a_{2},...,a_{n},... состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{7} ровно 3 числа делятся на 24?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{30} ровно 9 чисел делятся на 24?
в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{3n} больше кратных 24, чем среди чисел a_{3n+1}, a_{3n+2},...,a_{7n}, если известно, что разность прогрессии равна 1?
Решение
а) Да. Приведём пример: 24,32,40,48,56,64,72.
б) Предположим, что такая прогрессия существует. Очевидно, она возрастающая. Обозначим a_{l} — наименьший, кратный 24, член прогрессии. Тогда a_{l}, a_{l+i},...,a_{l+8i} — 9 первых членов прогрессии, кратных 24, причем l+8i \leq 30, откуда i \leq 3, так как l \geq 1, а l+9i > 30, тогда 30-9i < l \leq 30-8i.
Если i=3,\, 3 < l \leq6;
Если i=2,\, 12 < l \leq14;
Если i=1,\, 21 < l \leq22.
В каждом из этих случаев получаем противоречие с предположением, что a_{l} — наименьший, кратный 24, член прогрессии (достаточно рассмотреть хотя бы a_{l-i}).
Итак, предположение неверно, значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{30} ровно 9 чисел делятся на 24.
в) Среди любых 24 подряд идущих членов ровно один делится на 24. Пусть 3n=24s+r, где s,r \in \mathbb Z, r \geq 0, s \geq 0, 0 \leq r \leq 23 (r — остаток от деления n на 24). Тогда среди чисел a_{1},a_{2},...,a_{3n} на 24 делятся s или (s+1) чисел. Среди чисел a_{3n+1}, a_{3n+2},...,a_{6n} на 24 тоже делятся не менее s чисел. Если n \geq 24, то среди чисел a_{6n+1}, a_{6n+2},...,a_{7n} хотя бы одно делится на 24. Тогда среди чисел a_{3n+1},...,a_{7n} на 24 делятся хотя бы (s+1), значит, не меньше, чем среди чисел a_{1}, a_{2},...,a_{3n}.
Далее, среди чисел a_{1},..., a_{3n} на 24 делится чисел не более, чем частное \frac{3n}{24}=\frac{n}{8}, округлённое с избытком, и среди чисел a_{3n+1},...,a_{7n} не менее, чем частное \frac{4n}{24}=\frac{n}{6}, округленное с недостатком. Если 18 \leq n < 24, то \frac{n}{6} \geq 3, и частное, округлённое с недостатком, равно 3. При этом \frac{n}{8} < \frac{24}{8}=3, и частное \frac{n}{8}, округлённое с избытком, равно 3. Значит, среди членов a_{1},...,a_{3n} чисел, делящихся на 24, не может быть строго больше, чем среди чисел a_{3n+1},...,a_{7n} \geq 18.
Таким образом, n \leq 17. Приведём пример подходящей последовательности для n=17. Пусть a_{1}=22. Тогда среди чисел a_{1},...,a_{51} на 24 делятся a_{3}, a_{27} и a_{51}, а среди чисел a_{52},...,a_{119} - числа a_{75} и a_{99}.
Ответ
а) да; б) нет; в) 17.