Задание №1224
Условие
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система уравнений \begin{cases} \sqrt {(x-3)^2 +y^2 }+\sqrt {x^2 +(y-a)^2 }=\sqrt {a^2 +9}, \\ y=|2-a^2 | \end{cases} имеет единственное решение.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы. Выражение AB=\sqrt {(x-3)^2 +y^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и B(3; 0). Аналогично выражение AC=\sqrt {x^2+(y-a)^2 } определяет расстояние между точками A(x; y) и C(0; a), а выражение BC=\sqrt {a^2 +9} определяет расстояние между точками B(3;0) и C(0; a).
По неравенству треугольника AB+AC \geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка A принадлежит отрезку BC. Это значит, что для координат точки A(x; y) справедливы неравенства: 0 \leqslant x \leqslant 3, 0 \leqslant y \leqslant a.
Тогда из второго уравнения системы имеем:
0\leqslant |2-a^2 |\leqslant a, |2-a^2 |\leqslant a, -a\leqslant 2-a^2 \leqslant a,\begin{cases} 2-a^2 \geqslant -a,\\2-a^2 \leqslant a, \end{cases} \enspace \begin{cases} a^2 -a-2\leqslant 0,\\a^2+a-2\geqslant 0, \end{cases} \enspace \begin{cases} -1\leqslant a\leqslant 2,\\a\leqslant -2, a\geqslant 1, \end{cases}\enspace a\in[1;2].
Итак, первое уравнение системы определяет на плоскости xOy отрезок с концами в точках B и C, не параллельный оси Ox; второе уравнение системы определяет прямую, параллельную оси Ox. При a \in [1; 2] они имеют одну точку пересечения, то есть исходная система уравнений имеет единственное решение.
Ответ
[1; 2].