Задание №1021
Условие
Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 9 раз больше, либо в 9 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 19\,399.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение
а) Предположим, что последовательность состоит из двух членов.
Пусть меньшее из чисел последовательности a, тогда второе число 9a. Сумма членов a+9a=10a. По условию эта сумма равна 19\,399, и оа должна делиться на 10 (a — натуральное число). Но 19\,399 не делится на 10. Наше предположение неверно, следовательно, данная последовательность не может состоять из двух членов.
б) Да, может. Например, такой является последовательность 1021 \cdot 9; 1021; 1021 \cdot 9, то есть 9189; 1021; 9189 (мы рассмотрели случай последовательности 9a, a, 9a с суммой 19a).
в) Минимальная сумма двух стоящих подряд членов последовательности равна 10 (два соседних члена равны 9 и 1).
19\,399=10 \cdot 1939+9, 1940 пар быть не может. Таким образом, чисел меньше чем 1940 \cdot2.
Значит, максимальное число членов последовательности 1939 \cdot 2+1=3879.
В этом случае последовательность имеет вид: 9,1,9,1,...,9.
Ответ
а) нет; б) да; в) 3879