Вариант №8

а) Решите уравнение: 0,5 \sin^{2}6x- \sin^{2}\left ( \frac{3\pi}{2}-3x \right )=0.

б) Найдите корни, принадлежащие промежутку \left(0; \frac{\pi}{2} \right).

Треугольник MNP со сторонами MP=6\sqrt{3} и MN=NP лежит в основании прямой призмы MNPM_{1}N_{1}P_{1}. Точка K выбрана на ребре NN_{1} таким образом, что NK:N_{1}K=3:4. При этом угол между плоскостью MNP и плоскостью MKP составляет 60^{\circ}.

а) Докажите, что расстояние между прямыми MN и M_1P_1 равно боковому ребру призмы.

б) При условии KP=9, вычислите расстояние между прямыми MN и M_{1}P_{1}.

Решите неравенство \frac{1}{2}\log_{x-2}(x^{2}-10x+25)+\log_{5-x}(-x^{2}+7x-10)>3.

Вневписанная окружность с центром O_a и радиусом r_a в прямоугольном \bigtriangleup ABC касается в точке T_a катета BC. А вневписанная окружность с центром O_b касается катета AC в точке T_b.

а) Докажите, что площадь прямоугольного треугольника ABC может быть получена использованием формулы S = r_ar_b.

б) Зная S_{ABC}=30, найдите площадь четырехугольника AT_bT_aB.

Андрей Федорович и Денис Антонович — индивидуальные предприниматели, которые занимаются производством зеркал.

В течение нескольких лет Андрей Федорович изготавливал одно и то же (но не более 210) число зеркал в год.

Денис Антонович за такой же период изготавливал в год 90% от того количества зеркал, которое изготавливал Андрей Федорович.

После модернизации оборудования Денис Антонович стал изготавливать в год на 80% зеркал больше, чем он изготавливал до модернизации, и более чем 244 зеркала.

Каждый предприниматель изготавливает целое число зеркал в год.

Какое количество зеркал в год стал выпускать после модернизации оборудования Денис Антонович?

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений имеет ровно два решения.

\begin{cases}x^2+y^2=2a,\\ xy=a-\frac{1}{2} .\end{cases}

Дан набор из n различных натуральных чисел. Известно, что n>7, наименьшее общее кратное всех чисел равно 330 и для любых двух чисел их наибольший общий делитель больше единицы. Сумма всех чисел данного набора равна 755.

а) Принадлежит ли данному набору чисел хотя бы одно из чисел 2 или 3?

б) Принадлежит ли 10 данному набору чисел?

в) Укажите все n чисел данного набора.