Вариант №47120

а) Решите уравнение 16 \cdot 5^{\cos x} -6 \cdot 10^{\cos x}=20^{cos x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [ -\frac{11\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right ].

В основании прямой призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} лежит ромб ABCD с диагоналями AC=10 и BD=24.

а) Докажите, что прямые B_{1}D_{1} и AC_{1} перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми B_{1}D_{1} и AC_{1}, если известно, что боковое ребро призмы равно 20.

Решите неравенство \frac{4\log_2(x+0,5)}{5^{1-\sqrt x}-1}\leqslant 5^{\sqrt x}\log_2(x+0,5).

Биссектриса острого угла параллелограмма пересекает его сторону в точке K. Окружность радиусом 3 проходит через точку пересечения диагоналей и касается трёх сторон параллелограмма, причём K — одна из точек касания.

а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный.

б) Найдите площадь параллелограмма.

Вкладчик положил две одинаковые суммы под r% годовых в банки «A» и «B». Через год условия по вкладу в банке «A» изменились и он понизил годовую ставку до 10% годовых, в то время как банк «B» оставил годовую ставку на прежнем уровне. Найдите, при каком наименьшем целом r вклад в банке «B» через 3 года будет по крайней мере на 20% больше, чем вклад в банке «A».

При каких значениях параметра a неравенство

\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x?

Стрелок ведёт стрельбу по закрывающимся 4n-1\,\,(n \in \mathbb N, n > 1) мишеням, расположенным в одну линию друг за другом. Результаты стрельбы заносятся в одну строку, состоящую из 4n-1 клеток. Если мишень поражена, то в соответствующую клетку заносится 1, если нет, то 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «исключительным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «проходным».

а) Укажите число всех возможных различных результатов при n=3.

б) Укажите число всех возможных различных «исключительных» результатов при n=2.

в) Найдите формулу, по которой можно находить число всех возможных различных результатов, которые одновременно являются «проходными» и «исключительными».

г) Укажите наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1700.