Вариант №47119

а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].

В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8. На ребрах AB, AC и AD соответственно отмечены точки M, N и K, такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC.

Решите неравенство \frac{(|2x+1|-x-2) \cdot \left ( \log_{\tfrac{1}{3}}(x+4)+1 \right )}{5^{x^{2}+1}-5^{x}} \geq 0.

В окружность вписана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, один из углов которой равен 60^{\circ}. В трапецию вписана ещё одна окружность.

а) Докажите, что центр описанной окружности трапеции лежит внутри трапеции.

б) Найдите, во сколько раз CD больше радиуса окружности, касающейся сторон AB, AD и вписанной окружности трапеции ABCD, если AD>BC.

Финансовый консультант даёт рекомендации клиенту по оптимальному инвестиционному портфолио. Клиент хочет вложить средства (не более 25\,000 долларов) в два наименования акций крупных предприятий A и B. Цены на акции предприятия A составляют 5 долларов за акцию, предприятия B — 3 доллара за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести 6\,000 акций обоих наименований. По оценке консультанта прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: предприятие A — 1,1 доллара на 1 акцию, предприятие B — 0,9 доллара на 1 акцию. Сколько акций каждого предприятия должен посоветовать купить консультант клиенту, чтобы прибыль от инвестиций была максимальной?

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin{cases}(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end{cases} имеет ровно 2 решения.

Для проведения тестирования было подготовлено 4n+3 \,(n \in \mathbb N) вопросов. Результаты тестирования заносятся на отдельную карточку в одну строку, состоящую из 4n+3 клеток. В случае верного ответа в соответствующую клетку записывается 1, в случае неверного — 0. Если в средней клетке этой строки 1, а в симметричных относительно неё числа одинаковые, то результат называется «особенным». Если же число единиц больше числа нулей, то — «удовлетворительным».

Найдите:

а) количество всех возможных различных результатов при n=1;

б) количество всех возможных «особенных» результатов при n=2;

в) формулу, по которой можно находить число всех возможных различных, одновременно «особенных» и «удовлетворительных» результатов при произвольном значении n;

г) наибольшее значение n, при котором число всех возможных различных результатов, указанных в пункте в), меньше 1500.