Вариант №47118

а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left( 0;\,\frac{3\pi }2\right] ;

ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.

а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C.

б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C.

Решите неравенство 3^{x}\sqrt{5x-x^{2}+14} \leq 27\sqrt{5x-x^{2}+14}.

Задан треугольник ABC, каждая сторона которого равна 2. За пределами треугольника дана точка D так, что \angle ADC=120^{\circ}. Прямая l проходит через точку A и перпендикулярна отрезку, проведённому в A из точки пересечения высот \triangle ABC. K — точка пересечения прямых l и BD. Длина отрезка AK равна 1.

а) Докажите, что BK\cdot DK=1

б) Найдите длину отрезка AD.

Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к его счёту прибавляется 10% от находящейся на счёте суммы; 2) к его счёту прибавляется 5% от находящейся на счёте суммы и дополнительно 50 тысяч рублей. Известно, что если Иван будет оптимально выбирать схему начисления, то по прошествии 4 лет он сможет получить 417\,967 рублей прибыли. Найдите, сколько рублей положил на счёт Иван? Если возможны несколько вариантов ответов, найдите хотя бы один.

При каких значениях параметра a система \begin{cases} 15|x-2|+8|y+3|=120,\\x^2 -4a^2 +2y+5=4(x-1)-(y+2)^2 \end{cases} имеет ровно 4 решения?

а) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с натуральными членами a_n .Последовательность c_n сформирована по правилу c_n=a_n^2 +a_{n+2}^2. Сколько простых членов подряд может быть у последовательности c_n ?

б) Дана геометрическая прогрессия b_n с натуральными членами и простым знаменателем, S_k=b_1+b_2+... +b_k. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности S_k могут быть простыми числами?

в) Дана геометрическая прогрессия b_n с натуральными членами и простым знаменателем, c_n=b_1 n+b_{n+1}+b_{n+2}. Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности c_n могут быть простыми числами?