Вариант №47111

а) Решите уравнение 2\log_2^2\left(\frac{\sin x}{2}\right)- 7\log_2\left(\frac{\sin x}{2}\right)-15=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\frac\pi2; 3\pi\right].

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, все рёбра которой равны.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ BD основания перпендикулярно грани SCD.

б) Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 5.

Решите неравенство \frac{4 \cdot 5^{x}-17}{5^{x}-4}+\frac{10 \cdot 5^{x}-13}{2 \cdot 5^{x}-3} > \frac{8 \cdot 5^{x}-30}{2 \cdot 5^{x}-7}+\frac{5^{x+1}-4}{5^{x}-1}.

К окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно и касающаяся окружности в точке T.

а) Докажите, что периметр треугольника MNC равен стороне треугольника ABC.

б) Найдите MT:TN, если известно, что CM: MA=1:4.

Мясокомбинат производит котлеты из свиного фарша и котлеты из говяжьего фарша. Ниже приведена таблица, в которой указаны себестоимость, отпускная цена, а также производственные способности комбината по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 12 центнеров. Предполагая, что вся продукция находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить мясокомбинат от производства котлет за 1 месяц.

Найдите, при каких значениях параметра a система

\begin{cases} x^{2}+y^{2}+9=a^{2}+4x,\\ ||x-3|-|x-6||=y \end{cases}

имеет не менее трёх решений.

Учитель задумал несколько различных целых чисел и выписал набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д. слагаемых) на доске в порядке неубывания. Например, если бы он задумал числа 1,-5,6, то на доске был бы выписан набор -5,-4,1,1,2,6,7.

а) На доске был выписан набор -5,-2,3,4,7,9,12. Какие числа задумал учитель?

б) Для некоторых трех задуманных чисел на доске был выписан набор. Всегда ли по этому набору можно определить задуманные числа?

в) Дополнительно известно, что учитель задумал 4 числа. Все они не равны 0. Какое наибольшее число нулей может быть выписано на доске?