Вариант №3

а) Найдите корни уравнения: \cos 2x + 3\sqrt{3}\sin (\frac{3\pi }{2}+x)-5=0.

б) Какие из этих корней принадлежат отрезку \begin{bmatrix} 2\pi ; \frac{7\pi }{2} \end{bmatrix} ?

Площадь сечения, плоскостью SAC, правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 32\sqrt{3}, а площадь основания пирамиды ABCD равна 64.

а) Докажите, что угол между плоскостью основания, правильной четырехугольной пирамиды и боковым ребром равен 60^{\circ}.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решите неравенство: \frac{4^x+2}{4^x-8}+\frac{4^x}{4^x-4}+\frac{8}{16^x-12\cdot 4^x+32}\leq 0.

В треугольнике ABC окружность проходит через точки B и C и пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Отрезок MN касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

а) Докажите, что \bigtriangleup ABC подобен \bigtriangleup ANM.

б) Найдите MN, если AB=7, AC=8, BC=9.

10 июня в банке взяли кредит сроком на год и три месяца. Каждый месяц третьего числа долг возрастает на a% в сравнении с концом предыдущего месяца. С четвертого по девятое число каждого месяца нужно выплатить часть долга, при этом десятого числа долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на десятое число предыдущего месяца.

Найдите a, если сумма выплаченных денег после погашения кредита на 16% больше суммы денег, взятых в кредит.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет более двух возможных решений.

\begin{cases}8x-8y-40=\left | x^{2}+y^{2}-25 \right |, \\ y=ax-5 \end{cases}

Учащиеся средней школы решали тест и каждый из учеников за него мог получить какое-то положительное число баллов. Для того, чтобы сдать тест, нужно было набрать не менее 50 баллов. Для улучшения результатов тестирования, каждому участнику добавили по 5 баллов, поэтому количество сдавших его увеличилось. Подумайте и решите:

а) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест?

б) Возможно ли после этого понижение среднего балла у учеников не сдавших тест и при этом средний балл сдавших тоже понизился?

в) Пусть первоначально средний балл учеников, сдавших тест, составил 60 баллов, не сдавших – 40 баллов, а общий средний балл составил 50 баллов. После добавления баллов средний балл сдавших учеников стал равен 63 баллам, а не сдавших – 43. Определите наименьшее число участников, при котором возможна такая ситуация?