Вариант №10

а) Решите уравнение 2\sin x+|\cos x|-3\cos x=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left [\pi;\frac{5\pi}{2}\right ].

В правильном тетраэдре SABC на ребре AC взята точка F так, что AF:FC=2:1.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, F и высоту грани BSC, проведенную к ребру SC.

б) Найдите расстояние от точки F до плоскости BSC, если ребро тетраэдра равно 12.

Решите неравенство \log_{3}\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{1+\log_{3}9x}\geq 0.

Основание CD трапеции ABCD перпендикулярно ее боковой стороне BC. Через точки A и D провели окружность, которая касается прямой BC в точке M.

а) Докажите подобие \bigtriangleup ABF и \bigtriangleup FBK при условии, что F — точка пересечения прямых BC и AD, а BK — высота \bigtriangleup ABF.

б) При условии CD=4 см и AB=5 см, вычислите расстояние от точки M до прямой AD.

Петр Игнатьевич положил в банк 96 000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5% годовых, то 10% годовых. За последний год начислили 25%. Проценты начислялись и добавлялись к сумме вклада в конце каждого года. В итоге, вклад Петра Игнатьевича составил 160 083 рублей. Сколько лет в банке пролежал его вклад?

Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

\begin{cases}\log_{2}(x-y+1)=0, \\a(x^{2}+y^{2}-10y+25)^{2}-(2a^{2}+a+5)(x^{2}+y^{2}-10y+25)+10a+5=0 \end{cases}

имеет не более одного решения.

Психологами был создан тест, пройдя который можно получить показатель умственных способностей человека. После прохождения теста испытуемый получает оценку — положительное целое однозначное число Q (чем больше умственных способностей, тем выше Q). Рейтингом группы людей является среднее арифметическое значений показателей всех участников, которые входят в данную группу.

а) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Если в обеих группах изначально было по 3 человека, то мог ли повыситься рейтинг у обеих групп после перехода участников?

б) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. Затем из группы Б несколько участников перешли в группу А (в числе которых могли быть и бывшие люди из группы А). Может ли быть так, что рейтинги двух групп выросли и в первый, и во второй раз, если первоначально в каждой группе было по 10 человек.

в) Из группы А в группу Б перешли несколько человек. На какую наибольшую величину мог повыситься рейтинг группы А, если также и у группы Б повысился рейтинг при условии, что изначально в обеих группах было по 10 человек.