Радианы. Радианная мера угла
Радианная мера угла — это отношение длины дуги окружности, к радиусу этой окружности, когда дуга находится в пределах сторон образованного угла, а вершина угла находится в центре окружности.
Центральный угол окружности радиуса R, который опирается на дугу, длиной равной R, называется углом в 1 радиан.
Количество радиусов окружности, «укладывающихся» в дуге, равно количеству радиан, которые содержатся в развернутом угле.
Длина окружности, радиусом R, равна 2 \pi R, следовательно, длина дуги, на которую опирается развернутый угол, будет равняться \pi R, а сам развернутый угол равен \pi радиан.
Развернутый угол содержит 180^{\circ} и \pi радиан, поэтому на 1^{\circ} приходится \frac{\pi}{180} радиан.
На \alpha ^{\circ} приходится в \alpha раз больше радиан, чем на 1^{\circ};
На один радиан приходится \frac{180}{\pi} градусов.
На \beta радиан приходится в \beta раз больше градусов, чем на 1 радиан.
\beta=\frac{\alpha^{\circ} \cdot \pi}{180^{\circ}}; \alpha^{\circ}=\frac{\beta \cdot 180^{\circ}}{\pi}.
Например, 120^{\circ} — это то же самое, что \frac{120^{\circ} \cot \pi}{180^{\circ}}=\frac{2}{3}\pi радиан; 2 радиана — это то же самое, что и \frac{2 \cdot 180^{\circ}}{\pi}=120^{\circ}.
Для того, чтобы не допускать ошибок при переводе градусов в радианные меры и наоборот, полезной практикой является выполнение действий с единицами измерения, не только с числами:
- При сокращении градусов в ответе будут радианы;
- При сокращении радианов в ответе получаются градусы.